Alussa oli epätäsmällisyys

Käytämme arkipäivän elämässä koko ajan epätäsmällisiä käsitteitä ja päätelmiä. Esimerkiksi:

tai me päättelemme:

Tutkimustoiminnassa epätäsmälliset käsitteet ovat tyypillisiä erityisesti kvalitatiivisten metodien yhteydessä:

Kvantitatiiviset menetelmät ovat tavallisesti pyrkineet käyttämään täsmällisiä käsitteitä, ja tähän on jossain määrin pyritty myös kvalitatiivisten metodien tapauksessa. Tämä tavoite voi kuitenkin tuottaa tiettyjä ongelmia (vrt. Sorites-paradoksi).

Epätäsmällisyyden osa-alueet

Epätäsmällisyys tarkoittaa tavallisesti kielellistä semanttista ekstensionaalista epätäsmällisyyttä, jolloin oletamme, että tietyt kielelliset ilmaisut ovat epätäsmällisiä ja että näiden ilmaisujen alat sisältävät rajatapauksia. Esimerkiksi termi nuori ihminen on epätäsmällinen, koska sen ala, nuorten ihmisten joukko, sisältää rajatapauksia, eli jotkut ihmiset eivät ole nuoria eivätkä vanhoja.

Filosofiselta kannalta epätäsmällisyyteen liittyy monia osa-alueita:

Epätäsmällisyyden osa-alueet.

Epätäsmällisyys on eri asia kuin epävarmuus. Jälkimmäinen liittyy tilanteisiin, joita emme tunne tai tiedä, ja näin ollen tieto-opillisiin kysymyksiin. Epävarmuutta tarkastellaan tavallisesti todennäköisyysteorian avulla. Esimerkiksi:

Täsmällisen lähestymistavan ongelmia

Kvantitatiiviset metodit pyrkivät erityisesti käyttämään täsmällisiä käsitteitä ja täsmällistä päättelyä. Joissakin tilanteissa me emme kuitenkaan voi saavuttaa näitä tavoitteita. Esimerkiksi ilmiöiden asteittaiset muutokset ovat ongelmallisia. Tunnettu tapaus on Sorites- eli Falakros-paradoksi:

10-vuotias on selvästi nuori ihminen. Pohditaan sitten:

jne.

Täsmällinen lähestymistapa edellyttää, että vastaamme aina joko kyllä tai ei. Niinpä me vastaamme kyllä, kunnes saavutamme tietyn rajan (esim. 25 vuotta), ja tämän jälkeen vastaamme aina ei, koska muuten me joutuisimme väittämään, että 100-vuotiaskin on nuori. Valitettavasti tämä päättelytapa johtaa tilanteeseen, jossa 25-vuotias on nuori, mutta jo päivän vanhempi ei enää ole, ja kyseinen tilanne eli liian suuri hyppäys kategoriasta toiseen, on terveen järjen vastainen.

Yleisemmin em. päättelytapa johtaa enemmän tai vähemmän mielivaltaisten rajojen valintaan, kun asteittaisia muutoksia pyritään tarkastelemaan. Rajan alapuolella valitsemme yhden kategorian ja yläpuolella toisen. Tämän päättelyn taustalla on kaksiarvoinen logiikka, jonka mukaan väitteet ovat aina joko tosia tai epätosia.

Ongelma ratkaistaan käyttämällä moniarvologiikkaa, kuten sumeaa logiikkaa, ja silloin voimme myös käyttää toden ja epätoden välillä olevia totuusarvoja:

jne.

Niinpä 25-vuotiaalla on täysi jäsenyys ja 35-vuotiaalla osittainen jäsenyys nuorten ihmisten joukossa, kun taas 60-vuotiaalla ei ole jäsenyyttä. Tämä ajattelutapa on perustana sumeille joukoille ja sumealle logiikalle.

Miksi meidän pitäisi käyttää sumeita malleja?

Perinteiset kvantitatiiviset mallit ovat numeerisia ja sisältävät täsmällisiä arvoja. Lisäksi ne vaativat syvällistä matemaattis-tilastollista tietoa, numeronmurskausta ja tehokkaita tietokoneita.

Kvalitatiiviset mallit, jotka ovat yleensä ei-numeerisia ja likimääräisiä, ovat olleet vaikeasti tietokoneella mallinnettavissa, ja näin ollen niiden kanssa on paljon käsin tehtävää työtä.

Sumeat (fuzzy) mallit voivat sisältää likimääräisiä arvoja ja sekä numeerista että ei-numeerista dataa. Niinpä ne ratkaisevat monia edellä mainittuja ongelmia. Sumeat mallit

Yleisemmin älykkäät ja oppivat järjestelmät (adaptive and intelligent systems, soft computing) käsittävät sumeat systeemit, neuroverkot, todennäköisyyspäättelyn ja evoluutiolaskennan. Tietokoneympäristössä nämä metodit soveltuvat epätäsmällisyyden, oppimisen, epävarmuuden ja optimoinnin käsittelyyn. Usein erilaisia metodeja käytetään yhdessä (esim. neuro-sumeat systeemit).

Sumeiden mallien rakennuspuut

Sumeissa malleissa voidaan käyttää esimerkiksi seuraavia elementtejä:

* 5, noin 5,
* väli [4,6], noin väli [4,6],
* hyvin pieni, ei korkea, nuori tai melko nuori
* yhtä suuri kuin, likimain yhtäsuuri kuin, paljon suurempi kuin,
* funktio f(x,y)=x + y2, likimain funktio f(x,y)=x + y2,
* jos ikä on nuori, niin pituus on melko lyhyt
* etc.

Niinpä me voimme myös käyttää kielellisiä malleja ja likimääräisiä arvoja: Me voimme rakentaa malleja, joissa on kielellisiä elementtejä (pehmeä data). Esimerkiksi me voimme korvata matemaattisen funktion yksinkertaisella joukolla kielellisiä sääntöjä. Me voimme myös käyttää näitä malleja tietoympäristössä (“computing with words”). Nämä mallit voivat olla sekä lineaarisia ja epälineaarisia, ja ne kuvaavat hyvin todellisuuden ilmiöitä. Matemaattiselta kannalta sumeat systeemit ovat ns. universaaleja aproksimaattoreita, eli voimme aproksimoida minkä tahansa jatkuvan funktion mielivaltaisen tarkasti.

Sumeat ja neuro-sumeat systeemit soveltuvat hyvin sekä kvantitatiiviseen että kvalitatiiviseen tutkimukseen. Yleisemmin, voimme käyttää luonnon- ja ihmistieteiden metodeja yhdessä.

Sumeat joukot, mallinnuksen perusta

Sumea joukko-oppi (fuzzy set theory) olettaa, että oliot voivat myös osittain kuulua joukkoihin. Tavallisesti käytetään merkintätapaa, jossa 1 tarkoittaa täyttä jäsenyysastetta, arvot nollan ja ykkösen välillä osittaista ja 0 joukkoon kuulumattomuutta. Niinpä mustavalkoisen ajattelun sijasta me käytämme myös harmaan eri sävyjä. Aksiomaattiselta kannalta me hylkäämme ristiriidan periaatteen ja kolmannen poissuljetun lain.

Perinteinen joukko.

Sumea joukko.

Sumeiden joukkojen ja relaatioiden jäsenyysastetta kuvataan jäsenyysfunktion avulla, joka on kuvaus ns. perusjoukosta (reference space) E, suljetulle välille [0,1]. Niinpä perinteiset joukot ovat sumeiden joukkojen erikoistapauksia: silloin käytämme vain jäsenyysasteita 0 ja 1.

Esimerkiksi jos E on ikien joukko, voimme sanoa, että 20-vuotias, 30-vuotias ja 60-vuotias henkilö saavat vastaavasti jäsenyysasteet 1, 0.75 ja 0 nuorten ihmisten sumeassa joukossa.

Toisin sanoen:

Perinteinen nuorten ihmisten joukko.

Nuorten ihmisten sumea joukko.

Esimerkkejä sumeista joukoista

Alla on esitetty tyypillisiä sumeita joukkoja välillä E=[1,10]. Toinen ja kolmas joukko ylhäältä ovat esimerkkejä likimääräisistä väleistä.


Tyypillisiä sumeita joukkoja, kun E=[0,10].

Sumeiden joukkojen perusoperaatioita

Sumeille joukoille voidaan määrittää samanlaisia operaatioita kuin perinteisille joukoillekin. Olkoon E perusjoukko.

Sumea joukko (__) ja sen osajoukko (–).

Tässä tapauksessa siis komplementti on sumea joukko EI NOIN 5.


Sumeat joukot NOIN 5 (__) ja sen komplementti (–).

Joukkojen NOIN 5 ja NOIN 8 leikkaus (__) (ns. minimisääntö).

Joukkojen NOIN 5 ja NOIN 8 yhdiste (__) (ns. maksimisääntö).

Perinteisessä joukko-opissa joukon ja sen komplementin leikkaus on aina tyhjä joukko. Samoin joukon ja sen komplementin yhdiste on koko perusjoukko E. Nämä periaatteet tulevat kaksiarvologiikasta (ristiriidan ja kolmannen poissuljetun periaate). Sumea joukko-oppi ei noudata näitä lakeja, koska se perustuu moniarvoiseen ajatteluun ja tämän vuoksi sen avulla voidaan rakentaa käyttökelpoisempia malleja. Sumeiden joukkojen osalta voi siis olla mahdollista, että

Edellä mainituille operaatioille on paljon vaihtoehtoja, ja sopivan operaation valinta riippuu olosuhteista. Esimerkiksi päätöksenteossa käytetään erilaisia operaatioita kuin Tässä eräitä esimerkkejä:

Sumeat relaatiot

Sumea relaatio voidaan esittää sellaisen jäsenyysfunktion avulla, jossa on vähintään kaksi muuttujaa. Jatkossa tarkastellaan vain kahden muuttujan funktioita, ja tällöin voimme määritellä:

Olkoon E1 ja E2 perusjoukkoja, sumea relaatio 

voidaan kuvata jäsenyysfunktiolla 

Perinteisten relaatioiden tapauksessa funktio saa vain arvoja 0 ja 1, kun taas sumea versio saa arvoja välillä [0,1]. Edellinen tapa tarkoittaa, että olioiden välillä joko on relaatio 

tai ei ole .

Jälkimmäisen mukaan relaatioilla voi olla eri voimakkuuksia, kuten 

(täysi voimakkuus),  (osittainen) ja (ei relaatiota). Niinpä perinteiset relaatiot ovat sumeiden relaatioiden erikoistapauksia.

Sumeiden relaatioiden ansiosta voimme kuvata malleissamme asioiden likimääräisiä suhteita.

Jos E1 = E2= [0,1], perinteinen relaatio  voidaan karakterisoida seuraavasti:
, kun
, muuten.

Perinteinen relaatio . 

Vastaava sumea relaatio, likimäärin x1 on pienempi kuin x2, voidaan karakterisoida 

Tällöin oletimme, että jos , x1 pienempi kuin x2 täydellä voimakkuudella, kun taas tilanteessa  , voimakkuus on sitä pienempi, mitä suurempi on arvojen x1 ja x2, välinen etäisyys.

Sumea relaatio likimäärin x1 on pienempi kuin x2.

Sumeidenkin relaatioiden tapauksessa on esimerkiksi samanlaisuus- muistuttavuus- ja järjestysrelaatioita.

Mallin rakentaminen sumean päättelyn avulla

Kaksi yleisintä käytössä olevaa sumean päättelyn algoritmiä ovat Mamdani- ja Takagi-Sugeno -algoritmit, ja ne molemmat käyttävät sumeita sääntöjä.

Nämä algoritmit perustuvat kaavioon


Sumea sääntöpohjainen päättely.

Sumeiden sääntöjen tuottaminen

Sumeita sääntöjä tuotetaan asiantuntijoiden tietojen ja/tai empiiristen aineistojen perusteella. Molemmissa tapauksissa pyritään tarkasteltava ilmiö esittämään pienellä joukolla yksinkertaisia sääntöjä.

Jos empiiristä aineistoa on käytössä, meidän pitäisi käyttää perusjoukkoa hyvin edustavaa aineistoa. Aineiston koko riippuu mm. sääntöjenmuodostamistavasta, perusjoukon koosta, aineiston homogeenisyydestä, tarkasteluavaruuden ulottuvuuksien määrästä, mallin tavoitteista ja mallin virhemarginaaleista.

Esimerkiksi jos muodostamme säännöt kaikista syöte- ja vastearvojen yhdistelmistä (grid partition technique), tarvitsemme suuren aineiston ja melko paljon laskentatehoa. Jos yksi syötemuuttuja – yksi vastemuuttuja edellyttää kymmentä havaintoa, niin neljä syöte- neljä vastemuuttujaa edellyttää jo 103 = 1000 havaintoa. Mitä tulee sääntöjen määrään, neljä muuttujaa, joista jokainen saa kolme eri arvoa, tuottaa malliin jo 34 = 81 sääntöä.

Jos käytämme sääntöinä aineiston havaintoklusterien (so. ryhmien) keskuksia (scatter technique), sääntöjen määrä on tavallisesti pienempi, mutta tällöin malli voi tuottaa epätyydyttäviä tuloksia tiettyjen klusterialuiden ulkopuolella (ns. ekstrapolaation ongelma).

Jos aineisto on riittävän iso, voimme ratkaista em. ongelmia jakamalla sen satunnaisesti opetusaineistoksi ja vertailuaineistoksi. Edellisen avulla rakennamme mallin ja jälkimmäisen avulla tutkimme sen hyvyyttä. Tällöin mallia voidaan käyttää yleisemmin eri tilanteissa. Tyypillinen ylideterminoitumisen ongelma esiintyy silloin, kun malli toimii opetusaineiston kanssa hyvin, mutta antaa vertailuaineiston kanssa huonoja tuloksia. Meidän on muistettava, että aineistojen avulla rakennetut mallit toimivat hyvin vain sillä alueella, mistä aineistoa on saatavilla, ekstrapolaation ongelmaa ei mikään malli ratkaise

Jos empiiristä aineistoa ei ole saatavilla, mallin rakentaminen voi olla työläämpää.
Alla on standardoitua normaalijakaumaa kuvaava aineisto. Hyödyntämällä aineiston ryhmien keskuksia (Subclust-algoritmi) voimme muodostaa halutun määrän sääntöjä.

Kolmen klusterikeskuksen (säännön) ratkaisu.

Viiden säännön ratkaisu.

Esimerkki sumeasta mallinnuksesta

Oletetaan, että meidän pitää ostaa keskikokoinen auto käyttämällä kahta kriteeriä, hinta ja polttoaineen kulutus. Niinpä meillä on päätösmalli, jossa käytämme kahta syöte- ja yhtä vastemuuttujaa.

Käytämme seuraavia kielellisiä arvoja:

Päätöksemme (vaste) tehdään asteikolla -1 – 1, missä mm. noin -1 = huono, noin 0 = ei huono eikä hyvä ja noin 1 = hyvä.

Jos aineistoa ei ole käytössä, malli perustuu vain asiantuntemukseen. Esimerkiksi voimme muodostaa seuraavat säännöt:

Nämä säännöt ja Mamdani-päättely tuottavat seuraavan päätöspinnan:

Päätöspinta auton ostoon, Mamdani-päättely.

Huomaamme, että säännöt tuottavat meille epälineaarisen mallin, mikä on tyypillistä sumeille malleille: muutamalla säännöllä voimme kuvailla monimutkaisiakin epälineaarisia ilmiöitä.

Seuraava kuva esittää, kuinka em. päättely tapahtuu. Sääntöjen etujäsenet on painotettu syötteiden (pystyviivat) perusteella. Painot ovat sitä suuremmat, mitä enemmän syötteet muistuttavat etujäseniä. Jos etujäsen koostuu useasta osasta (kuten edellä kahdesta), lopullinen paino on aina painojen minimi (kun ja) tai maksimi (kun tai). Lopulliset painot ovat sitten takajäsenien painoja. Vastearvo perustuu sitten takajäseniin ja niiden painoihin. Esimerkiksi alla se on painotettujen takajäsenien joukko-opillinen yhdiste.

Esimerkiksi jos syötteet ovat n. USD 17 000 ja n. 6 l/100 km (harmaat pystyviivat), kolmas sääntö saa täyden painon, ensimmäinen osittaisen painon ja toinen sääntö ei ole mukana päättelyssä. Päätös on näin ollen (alla oikealla) painotettujen takajäsenten maksimi. Saamme myös vastaavan täsmällistetyn arvon, joka on vastejoukon painopiste (0,495, paksu pystypalkki oik. alh.). Voimme käyttää monenlaisia täsmällistämismetodeja:

Sumeat säännöt auton ostoon (Mamdani-päättely):

Oletetaan nyt, että meillä on empiirinen aineisto käytettävissä siitä, kuinka ihmiset tekevät päätöksiä auton ostossa. Tämä aineisto on seuraavassa kuvassa:

Empiirinen aineisto auton ostoon.

Ensin sovellamme lineaarista regressioanalyysiä tähän aineistoon. Tällöin saamme seuraavan mallin:

Päätös = -0.07hinta – 0.05kulutus + 2.07

Vastaava päätöspinta on taso:

Lineaarisen regressioanalyysin päätöspinta auton ostoon.

Seuraava kuvio osoittaa, että em. malli ei ole kovin hyvä, sillä muun muassa aineisto näyttääkin olevan epälineearinen luonteeltaan.

Mallin hyvyys, lineaarinen regressioanalyysi.

Toiseksi seuraava epälineearinen matemaattinen malli:

Päätös = -1.4325 + 0.1327hinta + 0.2612kulutus – 0.0133hinta × kulutus-0.0016hinta2 – 0.0023kulutus2
Tämä malli on parempi kuin edellinen, mutta se on matemaattisesti paljon monimutkaisempi.

Mallin hyvyys, epälineaarinen matemaattinen malli.

Jos me sovellamme Takagi-Sugeno -päättelyalgoritmia, tuotamme sumeat säännöt dataklustereiden keskusten perusteella esimerkiksi Subclust-algoritmilla. Klusterien keskusten perusteella tuotamme sitten lopulliset säännöt. Tässä yhteydessä käytämme kolmea sääntöä:

Hinta noin; Kulutus noin; Päätös noin

Takagi-Sugeno –päättely muokkaa näitä alkuperäisiä sääntöjä korvaamalla takajäsenet lineaarisilla funktioilla. Niinpä se käyttää sääntöjä, jotka ovat tyyppiä:

Jos hinta on noin 19 000 ja kulutus on noin 9, niin päätöksen hyvyys on noin f(hinta,kulutus), jossa f on lineaarinen funktio.

Seuraava kuva esittää edellä mainittua päättelyä. Takajäsenet ovat reaalilukuja (funktion f arvoja), ja niitä on painotettu syötteiden ja etujäsenien avulla samalla tavoin kuin Mamdani-päättelyssäkin. Lopullinen päätös (musta palkki alh. oik.) on takajäsenien painotettu summa.
Sumeat säännöt auton ostoon (Takagi-Sugeno -päättely).

Seuraavan kuvion perusteella Takagi-Sugeno –malli näyttää olevan hyvä:

Mallin hyvyys (Takagi-Sugeno -päättely).

Sumeita sääntöjä voidaan virittää esimerkiksi neuroverkkojen avulla, jos emme ole tyytyväisiä malliimme. Kun edellä olevaa Takagi-Sugeno –mallia viritettiin neuro-sumean Anfis-algoritmin avulla (mikä muokkaa mallin sumeita sääntöjä), malli saatiin hieman paremmaksi.

Mallin hyvyys (Anfis neuro-sumea päättely).

Viritetyt säännöt auton ostoon (Anfis neuro-sumea päättely).

Tämä malli tuottaa samanlaisen päätöspinnan kuin edellä esitetty Mamdani-mallikin, koska ”empiirinen” aineistomme oli itse asiassa tuotettu Mamdani-mallin avulla. Sumeat mallit yleensä tuottavatkin ns. oikean pinnan.

Mallin hyvyttää voidaan tarkastella myös vertailuaineiston avulla.

Monimutkaisten systeemien sumeat mallit

Usein joudumme tarkastelemaan malleja, joissa on paljon muuttujia tai moduuleja sekä vaikeasti kuvattavia relaatioita näiden elementtien välillä. Esimerkkeinä voidaan mainita suhteikot (graphs), neuroverkot, miellekartat, Bayes-verkot, semanttiset verkot ja käsitekartat. Me käytämme näitä malleja sekä ilmiöiden selittämiseen että ennustamiseen, ja tietokoneympäristössä niiden avulla voidaan suorittaa erilaisia simulointeja.

Perinteiset lähestymistavat soveltavat matemaattisia malleja ja ne ovat laskennallisesti raskaita jopa tietokoneelle. Vastaavat sumeat mallit, jotka ovat yksinkertaisempia, voivat sisältää myös kielellisiä ja/tai likimääräisiä muuttujia ja relaatioita, ja niinpä ne soveltuvat myös sellaisiin kvalitatiivisen tutkimuksen tilanteisiin, joita ei ole aikaisemmin voitu simuloida tietokoneella. Kyseisiä sumeita malleja kutsutaan joskus sumeiksi kognitiiviksi kartoiksi (fuzzy cognitive maps).

Monimutkainen malli on siis tyyppiä

Esimerkki monimutkaisesta mallista.

Ympyrät (nodes) ovat tavallisesti muuttujia, ja niiden välillä on erilaisia (kausaali)relaatioita. Kun muuttujille on asetettu alkuarvot, me voimme simuloida, kuinka arvot mallissa muuttuvat relaatioiden vaikutuksesta. Kun yhden muuttujan arvo muuttuu, se voi vaikuttaa useiden muiden muuttujien arvoihin, ja näin ollen koko verkosto reagoi muutoksiin. Tällaiset simulaatiot ovat hyvin vaikeasti toteutettavissa

Sumean logiikan ansiosta muuttujien väliset relaatiot voidaan kuvata sumeiden sääntöjoukkojen avulla, joihin sitten sovelletaan esimerkiksi Mamdani- tai Takagi-Sugeno –päättelyä. Niinpä nämä mallit sisältävät yleensä useita sumeita päättelymoduuleja. Lisäksi tarvitaan yk-sinkertainen moduuli, joka valvoo, minkä muuttujan arvo milloinkin vaihdetaan.

Muuttujien väliset relaatiot voidaan kuvata sumeiden sääntöjen avulla.

Kun nämä mallit hyödyntävät sumeaa logiikkaa, ne ovat hyvin käyttökelpoisia monissa luonnontieteiden ja ihmistieteiden sovelluksissa. Samoin niitä voidaan soveltaa hypertietämyksen ja hypermedian esittämiseen. Jälkimmäisessä tapauksessa älykkäillä www-sovelluksilla, kuten e-oppiminen, e-business ja webbirobotit, on edessään erittäin hyvät näkymät.

Sumeita kognitiivisia karttoja voidaan soveltaa myös virtuaalimaailmoihin ja keinoelämään. Virtuaalimaailmassa on aineettomia olioita, jotka ovat vuorovaikutuksessa keskenään. Unien maailma on klassinen esimerkki virtuaalimaailmasta.

Adaptiiviset sumeat kognitiiviset kartat voivat oppia muuttujien väliset säännöt annetun ”historiadatan” perusteella.

Niskanen, Vesa A. 2004. Sumean logiikan käyttö mallinnuksessa, lyhyt oppimäärä. www.metodix.com. Menetelmäartikkelit

Kirjallisuutta

H. Bandemer & W. Näther, Fuzzy data analysis (Kluwer, Dordrecht, 1992).

J. Bezdek & S. Pal, Fuzzy models for pattern recognition (IEEE Press,
New York, 1992).

S. Chiu, Fuzzy model identification based on cluster estimation, Journal
of Intelligent and Fuzzy Systems, 2 (1994) 267-278.

H. Dyckhoff & W. Pedrycz, Generalized means as model of compensative
connectives, Fuzzy Sets and Systems 14 (1984) 143-154.

R. Jang, ANFIS: Adaptive-network-based fuzzy inference system, IEEE
Transactions on Systems, Man and Cybernetics 23/3 (1993) 665-685.

W. Kickert, Fuzzy theories on decision making (Nijhoff, Boston, 1978).

B. Kosko, Fuzzy Engineering (Prentice Hall, New Jersey, 1997).

R. Krishnapuram & J. Lee, Fuzzy-connective-based hierarchial aggregation
networks for decision making, Fuzzy Sets and Systems 46/1 (1992) 11-28.

J. Mattila, Sumean logiikan oppikirja (Art House, 1997).

A. Niemi, Johdatus sumeisiin joukkoihin ja sumeaan logiikkaan
(Opetushallitus, 1996).

V. A. Niskanen, A brief logopedics for the data used in a neuro-fuzzy
milieu, in Ralescu, A. & Shanahan, J (Eds.): Fuzzy logic in artificial
intelligenc”, Lecture Notes inArtificial Intelligence 1566, Springer Verlag,
Berlin, 1999, pp. 222-233.

V. A. Niskanen, Prospects for Soft Statistical Computing: Describing
Data and Inferring from Data with Words in the Human Sciences, Information
Sciences, vol. 132, 2001, 83-131.

V. A. Niskanen, Sumea logiikka – kirkasta älyä ja mallinnusta. WSOY, 2003.

V. A. Niskanen, Soft Computing Methods in Human Sciences. Series: Studies in Fuzziness and Soft Computing , Vol. 134. Springer-Verlag. Berlin, 2003 (http://www.springeronline.com/sgw/cda/frontpage/0,10735,5-40109-22-3054388-0,00.html).

V. A. Niskanen, The unbearable lightness of neuro-fuzzy multi-criteria
decision making, in: P. Walden & al., Eds., The Art and Science of Decision
Making (Painosalama, Turku, 1996), 168-178.

H. Puolakka, Sumea logiikka käytännön sovelluksissa (Opetushallitus,
1997).

M. Smithson, Fuzzy set analysis for behavioural and social sciences
(Springer Verlag, New York, 1987).

T. Takagi & M. Sugeno, Fuzzy identification of systems and its
applications to modeling and control, IEEE Transactions on Systems, Man and
Cybernetics, SMC-15/1 (1985) 116-132.

R. Yager & D. Filev, Generation of fuzzy rules by mountain clustering,
Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 2 (1994) 209-219.

L. Zadeh, From Computing with Numbers to Computing with Words – From
Manipulation of Measurements to Manipulation of Perceptions, IEEE
Transactions on Circuits and Systems 45, (1999) 105-119.

L. Zadeh, Fuzzy logic = Computing with words, IEEE Transactions on
Fuzzy Systems, vol. 2, pp. 103-111, 1996.

L. Zadeh, Toward a theory of fuzzy information granulation and its
centrality in human reasoning and fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems 90/2
(1997) 111-127.

H.-J. Zimmermann, Fuzzy Set Theory and Its Applications (Kluwer,
Boston, 1991).

Linkkejä

Springerin kirjoja: www.springer.com

Kluwerin kirjoja: http://www.wkap.nl/series.htm/FSHS

Journal of Fuzzy Sets and Systems: http://www.elsevier.com/locate/issn/01650114

IEEE Transaction of Fuzzy Systems: http://www.ewh.ieee.org/tc/nnc/pubs/tfs/

International Journal of Approximate Reasoning: http://www.journals.elsevier.com/international-journal-of-approximate-reasoning/

Lisää kirjoja ja aikausilehtiä: http://www.pa.info.mie-u.ac.jp/~furu/ifsa/

Tekesin raportti ”Sumean logiikan mahdollisuudet”: http://www.tekes.fi/julkaisut/sumea/index.html

Vesa Niskasen materiaali: http://www.honeybee.helsinki.fi/users/niskanen/sumeaesi/index.htm

Vesa Niskasen kesäkoulun materiaali: http://www.helsinki.fi/~niskanen/sc2001/sc2001.html

International Fuzzy Systems Association (IFSA):
http://isdlab.ie.ntnu.edu.tw/ntust/ifsa/

BISC Group (UC Berkeley, USA, alan johtava ryhmä maailmassa):
http://www-bisc.cs.berkeley.edu/

Matlabin neuroverkko-ohjelma:
http://www.mathworks.com/products/neuralnet/index.shtml

Kohosen Websom-ohjelma: http://lipas.uwasa.fi/stes/step96/step96/lagus/

Matlabin sumean logiikan ohjelma: http://www.mathworks.com/products/fuzzylogic/

Fuzzytechin neuro-sumea ohjelma: http://www.fuzzytech.com/

Sumean kognitiivisen kartan ohjelma: http://www.fuzzysys.com/ftaprod.html

Yhteystiedot

Vesa A. Niskanen
FT, Dosentti
Helsingin yliopisto
Tenerum OY
puh. 040 503 2031
e-mail vesa.a.niskanen@helsinki.fi
http://www.mv.helsinki.fi/home/niskanen/

Kategoriat:artikkeli, Artikkelit